什么是布拉格方程？
2024-05-07
“布拉格”这个词容易让人想到周杰伦的《布拉格广场》，在这儿，布拉格指的是人名，而且是两个人的名字——布拉格父子。父亲带着儿子一起做科学研究，研究数学方程还是罕见的，关键是老布拉格带着儿子还拿了个诺贝尔物理学奖。1913 年布拉格父子借助X 射线成功地测出金刚石的晶体结构，并提出了“布拉格公式”，为最终建立现代晶体学打下了基础，在1915 年获得诺贝尔物理学奖。当时，小布拉格年仅25岁，而老布拉格53岁。那么我们先来一睹布拉格父子的容颜，W.H.Bragg和W.L.Bragg。致敬，Respect!
步入正题，我们来学习一下布拉格父子的学术成果。初中物理我们学习过波的合成，简单理解就是两个波都在向前传输，传输过程中这两个波可能加强，也可能相互抵消衰减，加强以后的传输可以传的更远收到信号，抵消以后的波就弱化衰减收不到信号。
在深入了解后发现，在光程差A=nλ（n=0，1，2，3，…）时，也就是在波长的整数倍，波的振幅叠加，波的传输加强；当光程差B=（n+1/2）λ（n=0，1，2，3，…）两个波的位相不同而相互抵消。所以，我们要接收到衍射出的光，就要满足两波长的差值为整数倍。回到前面讲解过的晶体结构这部分内容，晶体内部的原子是周期性排列的，将晶体视为由许多相互平行且晶面间距（d）相等的原子面组成；
在单一面上光的衍射现象是这样的：
一束平行的X射线，以θ 角照射到一原子面上，面上任意两个原子P、Q的散射波在原子面反射方向上的光程差为：Δ=QR-PS=PQcosθ–PQcosθ=0。
Δ= 0λ(波长的整数倍)，说明P、Q两原子的散射波在原子面反射方向上会干涉加强，在原子面反射方向上会观察到衍射。在一个原子面对X射线的衍射可以在形式上看成为原子面对入射线的反射。上面图片是描述的单面原子的衍射，在晶体中，原子是多层结构排布，X-ray具有强的穿透力, 晶体的散射线来自若干层原子面,除同一层原子面的散射线互相干涉外,各原子面的散射线之间还要互相干涉。下面这张图片是一束平行的X射线(波长λ)以θ角照射到晶体中晶面指数为(hkl), 晶面间距为d的各原子面上，各原子面产生反射。
任选两相邻面(A1与A2)，反射线光程差Δ=ML+LN=2dsinθ，干涉一致加强的条件为Δ=nλ。即：2dsinθ=nλ式中：n是任意正整数，称反射级数，d为(hkl)晶面间距, 上式称为布拉格方程。通过上面的示意图和公式，我们还能发现一些现象：X射线的原子面反射和可见光的镜面反射是不同的。一束可见光以任意角度投射到镜面上都可产生反射，而原子面对X射线的反射, 只有当θ、λ、d之间满足布拉格方程时才能发生。因此，人们把X射线的这种反射称为选择反射。了解完布拉格方程，我们还来了解一些扩展的知识。根据2dsinθ=nλ（布拉格方程），Sinθ≤1（数学学过），因此：
对衍射而言，n的最小值为1，产生衍射的条件为：λ≤ 2d，即，只有当电磁波的波长小于等于晶面间距的二倍时，才能产生衍射现象。有了这个条件，这就解释了为什么我们材料分析上常用什么X射线来研究材料了。拿我们常见的食盐NaCl的面间距来看，NaCl的晶面d200= 2.81埃，那射线的波长就要小于5.62埃，1埃=0.1nm,这就是要用X射线而不是可见光或微波来分析材料的原因。我们再由2dsinθ=nλ 可知，一组(hkl) 晶面随n值的不同，可能产生n个不同方向的反射线（分别称为该晶面的一级，二级…，n级反射）。
把(110)晶面的2级反射，看成为 (220)干涉面的一级衍射。（关于晶面的知识可以看之前介绍）。
有了这个不同衍射面的知识以后，就能明白为什么我们在做X射线分析时，在分析图谱中有不同的尖峰出现，像下面这样：
通过X射线衍射数据，我们能获得晶体的更多数据，比如金属Fe的面间距，布拉格角等…
关于布拉格方程介绍就到这儿，后面会介绍一些其他材料检测方法…
